Binomio al cuadrado o cuadrado de binomio

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados cada término con el doble producto de los mismos. Es decir:

un trinomio de la forma , se conoce com trinomio cuadrado perdfecto;

Cuando el segundo término es negativo la fórmula que se obtiene es

Ejemplo:

Producto de dos binomios con un termino comun

El producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes.

(x + a )(x + b )

=

x2

+

(a+b)

x

+

ab

Ejemplo:

(x + 3) (x+ 2) = x² + 5x + 6

Producto de la suma por su diferencia

La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término

( a + b ) ( a - b )

=

a2

-

b2

Ejemplos:

(4x + 9y) (4x - 9y) = 16x^{2 - 81y2}

Multiplicacion de expresiones algebraicas

La multiplicación de dos o más monomios se efectúa aplicando las reglas de la potenciación, de los signos, las propiedades asociativa y conmutativa del producto.

• Como resultado del producto de monomios se obtiene otro monomio.
• El coeficiente numérico del monomio resultante es igual al producto de los coeficientes de los monomios que intervienen en el producto.
• La parte literal es formada por las mismas letras que intervienen en los monomios del producto, con el exponente de la respectiva literal igual a la suma de los exponentes.

Ejemplos:

1.-

2.-

3.-

Terminos Semejantes

Son aquellos términos que tienen las mismas variables y éstas tienen los mismos exponentes, sin importar cuál es su coeficiente. Ejemplos:

2x2y3	es semejante a	-	2 3	x2y3
-3x5y	es semejante a	2yx5
4xy1/2	es semejante a	-	2 3	y1/2x
4x2y	no es semejante a	3xy2

De igual manera, 3x² y 5x² son términos semejantes, también se pueden sumar:

3x² + 5x² = 8x²

Reducción de términos semejantes

Debido a que los términos semejantes, entre ellos, son géneros de suma iguales, pueden sumarse o restarse unos con otros, basta operar (sumar o restar) a los coeficientes de los mismos.

7x - 6x + 10x + 4y + 7y - 9y = 11x + 2y

Algebra

El álgebra es una rama de las Matemáticas que estudia la forma de resolver las ecuaciones.
Una de las características del álgebra es que utiliza símbolos para representar números.
El álgebra actual trata con entidades mas generales que los números y sobre estas entidades define operaciones (similares a las operaciones aritméticas). Esta nueva álgebra se debe a Galois.

Ecuaciones

Una expresión algebráica es una combinación de números y símbolos (que representan números). Por ejemplo: 5x² + 3x³y³z.

Un término es una combinación de números y símbolos (que representan números) unidos por operaciones de multiplicación o división. Por ejemplo: 5x², 3x³y³z son los términos de la expresión algebraica 5x² + 3x³y³z.

Un factor es cada uno de los componentes de un término. Por ejemplo: 5 y x², son los factores del término 5x² de la expresión algebráica 5x² + 3x³y³z .

Elegido un factor, un coeficiente, es lo queda del término. Por ejemplo: 3 es el coeficiente de x³y³z, x³ es el coeficiente de 3y³z, z es el coeficiente de 3x³y³ y así sucesivamente. Si el coeficiente es un número se le llama coeficiente numérico.
Dos términos se dice que son similares cuando sólo se diferencian en el coeficiente numérico.

El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo: el grado del término 3x³y³z es 7. El grado de una constante es cero.

Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto.

Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión es una identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión es una ecuación.
Por ejemplo: 2x² + 5x² + x² = 8x² es una identidad y 2x² + 3x = 5 es una ecuación.

Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:

a) Por el número de incógnitas.

Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y 5xy - 3x² + z = 8 tiene tres incógnitas.

b) Por el grado de la incógnita.

Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita).Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2).

c) Por el número de términos

c1]Ecuaciones binómicas:

Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicas.

c2]Ecuaciones polinómicas:

Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman trinómicas, y aunque podríamos seguir llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar polinómicas.


PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMAS RESUELTOS

Notación científica

La notación científica (o notación índice estándar) es un modo de representar un conjunto de números -ya sean enteros o reales-mediante una técnica llamada coma flotante aplicada al sistema decimal, es decir, potencias de base diez. Esta notación es utilizada en numeros demasiado grandes o demasiado pequeños. La notación científica es utilizada para reducir cantidades muy grandes, y que podamos manejar con más facilidad.

Escribir un número en notación científica es expresarlo como el producto de un número mayor o igual que 1 y menor que 10, y una potencia de 10.

Operaciones matemáticas con notación científica

Adición

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se debe sumar las mantisas, dejando la potencia de 10 con el mismo grado (en caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse la mantisa multiplicándola o dividiéndola por 10 tantas veces como sea necesario para obtener el mismo exponente):

Ejemplo: 5·10⁶

Multiplicación

Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes:

Ejemplo: (4·10⁵)·(2·10⁷) = 8·10¹²

División

Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes (numerador_denominador):

Ejemplo: (4·10¹²)/(2·10⁵) =2·10⁷

Potenciación

Se potencia la mantisa y se multiplican los exponentes:

Ejemplo: (3·10⁶)² = 9·10¹²

Radicación

Se debe extraer la raíz de la mantisa y dividir el exponente por el índice de la raíz:

Ejemplo:

Extraccion de la raiz cuadrada

Voy a explicar el procedimiento para hallar la raíz cuadrada inexacta de un número por medio de un ejemplo ilustrativo.

Prelimirares: antes de comenzar a extraer la raíz cuadrada de un número debemos decidir cuántas cifras decimales ha de tener y seguir la siguiente regla: "por cada cifra decimal debemos agregar dos ceros a la derecha del número". Es aconsejable escribir una pareja adicional de ceros para luego establecer la aproximación de la última cifra decimal.

Ejemplo ilustrativo:

Hallar la raíz cuadrada de 623 y expresar el resultado con dos cifras decimales.

Solución:

Escribimos el número, cuya raíz queremos calcular, bajo el signo radical:

Escribimos un par de ceros, a la derecha del número, por cada cifra decimal que queremos hallar, y un par adicional para aproximar la segunda cifra decimal:

Separamos en períodos, con apóstrofos ( ' ), las cifras de dos en dos, comenzando por la derecha:

Extraemos la raíz cuadrada entera del número en el primer período de la izquierda (6), ésta será la primera cifra de la raíz; la ubicamos en la casilla del resultado:

Se eleva al cuadrado la cifra obtenida en el paso anterior y, dicho cuadrado, se resta del número en el primer período:

Se baja el segundo período y, se separa con un apóstrofo la última cifra del número resultante:

Multiplicamos por dos el número que tenemos hasta ahora en la casilla del resultado:

Si el número formado a la izquierda del apóstrofo (22) es menor que el duplo del número que tenemos en la raíz (calculado en el paso anterior), ponemos un cero en la raíz. No es este el caso en el presente ejercicio, pués 22>4. Seguimos: si el número escrito antes del apóstrofo es mayor o igual que el duplo de la raíz, lo dividimos por éste:

El cociente obtenido en el paso anterior, o una cifra menor, será la segunda cifra de la raíz.

Para probar si el cociente anterior es la cifra correcta, se coloca a la derecha del duplo de la raíz hallada, y se multiplica por este mismo cociente. Si el producto es menor que el número del cual separamos la última cifra, éste es correcto y se sube a la raíz; en cambio, si el producto es mayor, se disminuye en una unidad o en más hasta que el producto sea menor:

Como 176 < 223, 4 es la cifra correcta; por lo que, la subimos a la raíz:

Efectuamos la resta entre el número que se forma cuando bajamos un período y el número correcto, hallado en la prueba anterior:

Bajamos el siguiente período y separamos con un apóstrofo la última cifra del número formado. Cuando bajamos el primer período de ceros (como es el caso presente), agregado por nosotros para obtener la primera cifra decimal, escribimos una coma en la raíz (comenzamos a encontrar los decimales):

Se repiten los pasos anteriores hasta concluir con el último período:

Duplicamos (multiplicamos por 2) el número que hasta este momento tenemos en la casilla del resultado, esto es, el 24:

48 <>, y 48 en 470 está 9 veces; ensayemos con el 9:

4 401 <>; 9 es la cifra correcta; escribimos 9 en la raíz:

Restamos 4 401 de 4 700, bajamos el siguiente período de ceros, separamos la última cifra del número formado y duplicamos el número presente en la raíz:

498 <>, y 498 en 2 990 está 6 veces; ensayemos con el 6:

29 916 > 29 900, por lo que debemos disminuir a 6 en 1 y ensayar con 5:

24 925 <>

Restamos 24 925 de 29 900, bajamos el siguiente período de ceros, separamos la última cifra del número formado y duplicamos el número presente en la raíz:

4 990 <>, y 4 990 en 49 750 está 9 veces; ensayemos con el 9:

449 181 < 497 500; por lo tanto, el 9 es una cifra correcta y, la podríamos subir a la casilla del resultado; pero, como debemos dar la respuesta sólo con dos cifras decimales, este 9 nos indica que debemos aproximar a 6 la segunda cifra decimal.

De tal manera que, dada con dos cifras decimales:

Propiedades de las pòtencias

Producto de potencias de igual base

Para multiplicar potencias de igual base, ponemos la misma base y sumamos los exponentes.

Ejemplo: 2 ³x 2 ⁵ = (2x2x2) x (2x2x2x2x2) = 2 ⁸ = 2 ³⁺⁵ (como la base (2) es la misma, los exponentes se suman) y da como resultado = 2 ³⁺⁵ = 256

División de potencias de igual base

Cuando queremos dividir potencias que poseen la misma base, debemos restar los exponentes.

Ejemplo: 2 ⁵:2 ² = (2x2x2x2x2) : (2x2) =2 ^5-2 = 2 ³= 8

Potencia de un producto

Si queremos realizar la siguiente operación: (2x3) ³ observamos que (2x3) ³ = (2x3) x (2x3) x (2x3) = (2x2x2) x (3x3x3) = 2 ³ x 3 ³.

Para calcular el resultado también podemos multiplicar (2x3) y elevar el producto al cubo: (2x3) ³ = 6 ³ = 216 O bien, elevar al cubo cada uno de los factores, que sería: 2 ³ = 8 y 3 ³ = 27 y luego, multiplicar el resultado: 8 x 27 = 216.

Decimos entonces que la potencia de un producto es igual al producto de la potencia.

Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor.

Tenemos que elevar el dividendo y el divisor a dicha potencia. Ejemplo: (6:2) ² = 6 ²: 2 ² = 9; Porque: (6:2) ² = 3 ² = 9

Potencia de una potencia

Para elevar una potencia a otra potencia, debes poner la misma base y luego multiplicar los exponentes.

Ejemplo:

(2 ²) ³ = 64; porque: 2 ² x 2 ² x 2 ² = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 ; o también podemos multiplicar los exponentes: es decir, 2 x 3 y, luego elevar la base a dicho resultado.

Mira el ejemplo: (2 ^2x3) = 2 ⁶= 64